Tiên đề 1

Nội dung của tiên đề 1 nói về các đại lượng quan sát được và các toán tử:

Mỗi đại lượng quan sát được, hay biến số động lực, A trong cơ học lượng tử tương ứng với một toán tử A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} sao cho phép đo A thu được giá trị a là các giá trị riêng của A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} , nghĩa là các giá trị a là những giá trị mà phương trình trị riêng A ^ φ = a φ {\displaystyle {\hat {A}}\varphi =a\varphi } có nghiệm φ {\displaystyle \varphi } ; khi đó φ {\displaystyle \varphi } là hàm riêng của toán tử A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} tương ứng với trị riêng a[1].

Ví dụ thứ nhất

Toán tử xung lượng p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} là p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla \,\!} . Xét hạt chuyển động một chiều trên trục x {\displaystyle x} . Khi đó

p ^ x = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}

và phương trình trị riêng của toán tử xung lượng là

− i ℏ ∂ ∂ x φ = p x φ {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\varphi =p_{x}\varphi } ,

trong đó p x {\displaystyle p_{x}} là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu được khi đo thành phần trên trục x {\displaystyle x} của xung lượng; hàm sóng φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} tương ứng với một giá trị xác định của xung lượng ( p x ) {\displaystyle (p_{x})} là hàm mà | φ ( x ) | 2 d x {\displaystyle |\varphi (x)|^{2}dx} là xác suất tìm thấy hạt với xung lượng p x {\displaystyle p_{x}} trong khoảng [ x , x + d x ] {\displaystyle [x,x+dx]} .

Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên) khi đó ta có nghiệm

φ ( x ) = A e i p x x ℏ = A e i k x {\displaystyle \varphi (x)=Ae^{\frac {ip_{x}x}{\hbar }}=Ae^{ikx}} ,

trong đó số sóng k = p ℏ {\displaystyle k={\frac {p}{\hbar }}} , như vậy φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} là hàm tuần hoàn theo x {\displaystyle x} .

Ta hãy tìm bước sóng λ {\displaystyle \lambda } :

e i k x = e i k ( x + λ ) = c o s ( k x ) + i s i n ( k x ) {\displaystyle e^{ikx}=e^{ik(x+\lambda )}=cos(kx)+isin(kx)} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } { c o s ( k λ ) = 1 s i n ( k λ ) = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}cos(k\lambda )=1\\sin(k\lambda )=0\end{matrix}}\right.} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } k λ = 2 π {\displaystyle k\lambda =2\pi } ,

tức là p ℏ λ = 2 π ⇒ p = 2 π ℏ λ = h λ {\displaystyle {\frac {p}{\hbar }}\lambda =2\pi \Rightarrow p={\frac {2\pi \hbar }{\lambda }}={\frac {h}{\lambda }}}

(hệ thức De Broglie ε = ℏ ω ; p → = ℏ k → {\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega ;{\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}} , trong đó tần số góc ω {\displaystyle \omega } , vector sóng k → {\displaystyle {\vec {k}}} , mỗi phôton có năng lượng ε {\displaystyle \varepsilon } và xung lượng p → {\displaystyle {\vec {p}}} )

Ta thấy rằng hàm riêng của toán tử xung lượng tương ứng với trị riêng p {\displaystyle p} có bước sóng là bước sóng De Broglie h λ {\displaystyle {\frac {h}{\lambda }}} .

Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lượng là φ ( x ) = A e i k x ; p = ℏ k {\displaystyle \varphi (x)=Ae^{ikx};p=\hbar k}

Ví dụ thứ hai

Toán tử tương ứng với năng lượng là toán tử năng lượng hay toán tử Hamilton H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} , trong đó p → {\displaystyle {\vec {p}}} được thay bởi p → ^ {\displaystyle {\hat {\vec {p}}}} .

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng m {\displaystyle m} trong trường thế V ( r → ) {\displaystyle V({\vec {r}})} là

H ^ = p ^ 2 2 m + V ( r → ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r → ) {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})}

Phương trình trị riêng có dạng

H ^ φ ( r → ) = E φ ( r → ) {\displaystyle {\hat {H}}\varphi ({\vec {r}})=E\varphi ({\vec {r}})}

Đây chính là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian.

Xét hạt tự do: H ^ = p ^ 2 2 m = − ℏ 2 2 m ∇ 2 {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}

Đối với hạt tự do[2] một chiều, ta có phương trình trị riêng

− ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 φ ( x ) = E φ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\varphi (x)=E\varphi (x)}

Đặt k 2 = 2 m E ℏ 2 {\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}} ( k {\displaystyle k} được gọi là số sóng), ta có phương trình

φ ( x ) ″ + k 2 φ ( x ) = 0 {\displaystyle \varphi (x)''+k^{2}\varphi (x)=0}

Do không có điều kiện ban đầu nên

φ ( x ) = A e i k x + B e − i k x {\displaystyle \varphi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}} φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} là hàm riêng của toán tử H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} tương ứng với trị riêng năng lượng E = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} .

Ta nhận thấy rằng hàm φ ( x ) = A e i k x + B e − i k x {\displaystyle \varphi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}} ứng với B = 0 {\displaystyle B=0} cũng là hàm riêng của toán tử xung lượng p → ^ {\displaystyle {\hat {\vec {p}}}} .

Việc hai toán tử H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} và p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} của một hạt tự do có chung hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của một định lý tổng quát hơn.

Tiếp theo ta hãy chứng minh rằng nếu φ {\displaystyle \varphi } là hàm riêng của p → ^ {\displaystyle {\hat {\vec {p}}}} thì φ {\displaystyle \varphi } cũng là hàm riêng của H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} .

Do φ {\displaystyle \varphi } là hàm riêng của p → ^ {\displaystyle {\hat {\vec {p}}}} nên ta có:

p → ^ φ = ℏ k φ {\displaystyle {\hat {\vec {p}}}\varphi =\hbar k\varphi }

Do đó H ^ φ = p → ^ 2 m ( p → ^ φ ) = p → ^ 2 m ( ℏ k φ ) = ℏ k 2 m ( p → ^ φ ) = ( ℏ k ) 2 2 m φ {\displaystyle {\hat {H}}\varphi ={\frac {\hat {\vec {p}}}{2m}}({\hat {\vec {p}}}\varphi )={\frac {\hat {\vec {p}}}{2m}}(\hbar k\varphi )={\frac {\hbar k}{2m}}({\hat {\vec {p}}}\varphi )={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}\varphi }

tức là φ {\displaystyle \varphi } cũng là hàm riêng của H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} .

Cả năng lượng và xung lượng của hạt tự do có các giá trị liên tục

E = ℏ 2 k 2 2 m ; p = ℏ k ; {\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}};p=\hbar k;}

nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng k {\displaystyle k} nào.

Hàm riêng tương ứng là

φ k ( x ) = A e i k x {\displaystyle \varphi _{k}(x)=Ae^{ikx}}

Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lượng chắc chắn được giá trị ℏ k {\displaystyle \hbar k} , phép đo năng lượng chắc chắn được giá trị ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} .

Giả sử ta đo vị trí x {\displaystyle x} của hạt. Hạt sẽ ở đâu?

Theo Born, khi hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng φ k ( x ) = A e i k x {\displaystyle \varphi _{k}(x)=Ae^{ikx}} thì mật độ xác suất liên quan tới xác suất tìm thấy hạt trong khoảng [ x , x + d x ] {\displaystyle [x,x+dx]} là | φ k | 2 = | A | 2 = c o n s t {\displaystyle |\varphi _{k}|^{2}=|A|^{2}=const} . Mật độ xác suất cùng bằng một hằng số cho mọi x {\displaystyle x} . Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào là như nhau.

Tiên đề 2

Nội dung của tiên đề 2 nói về phép đo trong cơ học lượng tử:

Phép đo[3] biến số động lực A {\displaystyle A} thu được giá trị a {\displaystyle a} đưa hệ về trạng thái φ a {\displaystyle \varphi _{a}} , trong đó φ a {\displaystyle \varphi _{a}} là hàm riêng của toán tử A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} tương ứng với trị riêng a {\displaystyle a} [4].

Ví dụ:

Hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt đang ở trong trạng thái nào, ở một thời điểm bất kỳ ta đo xung lượng của hạt và đạt được giá trị p = ℏ k {\displaystyle p=\hbar k} . Phép đo này đưa hệ về trạng thái φ k {\displaystyle \varphi _{k}} , phép đo xung lượng sau đó chắc chắn thu được giá trị p = ℏ k {\displaystyle p=\hbar k} .

Giả sử, ta đo vị trí của một hạt tự do và đo được vị trí x = x ′ {\displaystyle x=x'} . Từ 2 tiên đề suy ra

(1) Có một toán tử x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} tương ứng với phép đo được vị trí x {\displaystyle x} .

(2) Đo x {\displaystyle x} được giá trị x ′ {\displaystyle x'} đưa hạt về hàm riêng của toán tử x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} tương ứng với trị riêng x ′ {\displaystyle x'} .

Ta có phương trình trị riêng

x ^ δ ( x − x ′ ) = x ′ δ ( x − x ′ ) {\displaystyle {\hat {x}}\delta (x-x')=x'\delta (x-x')} trong đó δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \delta (x-x')} là hàm delta Dirac.

Tiên đề 3

(Thiết lập sự tồn tại của hàm trạng thái và mối liên hệ của nó với các tính chất của một hệ)

Nội dung:

Trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bởi một hàm trạng thái hay hàm sóng ψ {\displaystyle \psi } liên tục và khả tích. Tất cả thông tin liên quan đến trạng thái của hệ được chứa đựng trong hàm sóng.[5]

Cụ thể, nếu hệ ở trạng thái ψ ( r → , t ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)} thì giá trị trung bình của biến số động lực C {\displaystyle C} bất kỳ liên quan tới thời điểm t {\displaystyle t} là

⟨ C ⟩ = ∫ ψ ∗ C ^ ψ d r → {\displaystyle \left\langle C\right\rangle =\int \psi ^{*}{\hat {C}}\psi d{\vec {r}}}

trong đó d r → {\displaystyle d{\vec {r}}} là vi phân thể tích, ⟨ C ⟩ {\displaystyle \left\langle C\right\rangle } là giá trị kỳ vọng của biến số động lực C {\displaystyle C} .

Ý nghĩa vật lý của giá trị trung bình biến số động lực C {\displaystyle C} :

Biến số động lực C {\displaystyle C} được đo trong một thí nghiệm xác định X {\displaystyle X} . Người ta chuẩn bị một số lượng N {\displaystyle N} rất lớn các phép lặp của X {\displaystyle X} , các trạng thái đầu ψ ( r → , 0 ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}},0)} của mọi phép lặp đều như nhau. Ở thời điểm t {\displaystyle t} , đo C {\displaystyle C} trong tất cả các thí nghiệm lặp và thu được tập giá trị C 1 , C 2 , . . . , C N {\displaystyle C_{1},C_{2},...,C_{N}} . Suy ra

⟨ C ⟩ = 1 N ∑ i = 1 N C i {\displaystyle \left\langle C\right\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}C_{i}}

Tiên đề 3 nói rằng giá trị trung bình tính được trong thí nghiệm bằng giá trị trung bình cho bởi tích phân.

Tiên đề 4

Nội dung của tiên đề 4 là về sự tiến triển theo thời gian của hàm trạng thái:

Hàm trạng thái[6] ψ ( r → , t ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)} của một hệ tiến triển theo thời gian theo phương trình i ℏ ∂ ∂ t ψ ( r → , t ) = H ^ ψ ( r → , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {r}},t)={\hat {H}}\psi ({\vec {r}},t)}

Đây chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian.[7]

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng m {\displaystyle m} trong trường thế V ( r → ) {\displaystyle V({\vec {r}})} là

H ^ = p ^ 2 2 m + V ( r → ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r → ) {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})}

Giả sử H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} không phụ thuộc t {\displaystyle t} : H ^ = H ^ ( r → ) {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}({\vec {r}})}

Trong trường hợp này ta có thể tìm nghiệm của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian nhờ kỹ thuật tách biến:

ψ ( r → , t ) = ψ ( r → ) T ( t ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}})T(t)}

Kết quả ta tìm được phần phụ thuộc thời gian

T ( t ) = A e − i E t ℏ {\displaystyle T(t)=Ae^{-{\frac {iEt}{\hbar }}}}

Giả sử phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, thu được các hàm riêng ψ n {\displaystyle \psi _{n}} và trị riêng E n {\displaystyle E_{n}} :

H ^ ψ n = E n ψ n {\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}

Với mỗi nghiệm riêng như thế có một nghiệm riêng tương ứng với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

ψ n ( r → , t ) = A ψ n ( r → ) e − i E n t ℏ , n = 1 , 2 , 3... {\displaystyle \psi _{n}({\vec {r}},t)=A\psi _{n}({\vec {r}})e^{-{\frac {iE_{n}t}{\hbar }}},n=1,2,3...}

điều này phù hợp khi { ψ n } {\displaystyle \left\{\psi _{n}\right\}} gián đoạn.

Trong trường hợp { ψ n } {\displaystyle \left\{\psi _{n}\right\}} liên tục, ví dụ như hạt tự do chuyển động một chiều, từ phương trìng Schrodinger không phụ thuộc thời gian

H ^ ψ k = E k ψ k {\displaystyle {\hat {H}}\psi _{k}=E_{k}\psi _{k}}

ta đã thu được hàm riêng ψ k ( x ) = A e i k x {\displaystyle \psi _{k}(x)=Ae^{ikx}} và trị riêng E k = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} .

Với mỗi nghiệm không phụ thuộc thời gian ta có một nghiệm phụ thuộc thời gian tương ứng

ψ k ( x , t ) = A e i ( k x − ω t ) {\displaystyle \psi _{k}(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}} , trong đó ℏ ω = E k {\displaystyle \hbar \omega =E_{k}}